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<!DOCTYPE html>

<title>Copula (Mathematik)</title>

</head>

<h1 id="firstHeading" class="firstHeading mw-first-heading">Copula (Mathematik)</h1>

</header>

</div>

<div id="mw-content-text" class="mw-body-content mw-content-ltr" lang="de" dir="ltr"><div class="mw-content-ltr mw-parser-output" lang="de" dir="ltr">Eine Copula (Pl. Copulas oder Copulae) ist eine Funktion, die einen funktionalen Zusammenhang zwischen den <a href="Randverteilung" title="Randverteilung">Randverteilungsfunktionen</a> verschiedener <a href="Zufallsvariable" title="Zufallsvariable">Zufallsvariablen</a> und ihrer gemeinsamen <a href="Wahrscheinlichkeitsverteilung" class="mw-redirect" title="Wahrscheinlichkeitsverteilung">Wahrscheinlichkeitsverteilung</a> angeben kann.

Mit ihrer Hilfe kann man <a href="Stochastisch_unabh%C3%A4ngige_Zufallsvariablen" title="Stochastisch unabhängige Zufallsvariablen">stochastische Abhängigkeit</a> deutlich flexibler modellieren als beispielsweise mit <a href="Korrelationskoeffizient" class="mw-redirect" title="Korrelationskoeffizient">Korrelationskoeffizienten</a>.

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Definition">Definition</h2></div>

Eine Copula ist eine <a href="Multivariate_Verteilung" title="Multivariate Verteilung">multivariate Verteilungsfunktion</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle C\colon [0,1]^{n}\rightarrow [0,1]}">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle C\colon [0,1]^{n}\rightarrow [0,1]}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f00d3499be1b01f1159a3592f38c6f94c3c0b870.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:16.938ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle C\colon [0,1]^{n}\rightarrow [0,1]}" loading="lazy">,

deren eindimensionale <a href="Randverteilung" title="Randverteilung">Randverteilungen</a> <a href="Gleichverteilung" title="Gleichverteilung">gleichverteilt</a> über dem Intervall <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle [0,1]}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle [0,1]}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/738f7d23bb2d9642bab520020873cccbef49768d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:4.653ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle [0,1]}" loading="lazy"> sind. Formal ausgedrückt bedeutet dies folgendes:

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle C}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4fc55753007cd3c18576f7933f6f089196732029.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.766ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle C}" loading="lazy"> ist multivariate Verteilungsfunktion, das heißt

<msup>

</mrow>

</msup>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \forall u\in [0,1]^{n}\colon \min\{u_{1},\dotsc ,u_{n}\}=0\implies C(u)=0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a26b3581e907793662bf2d24a1a79b76bd85a9bf.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:48.492ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \forall u\in [0,1]^{n}\colon \min\{u_{1},\dotsc ,u_{n}\}=0\implies C(u)=0}" loading="lazy">,</li>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle C}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4fc55753007cd3c18576f7933f6f089196732029.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.766ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle C}" loading="lazy"> ist <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.395ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle n}" loading="lazy">-steigend, das heißt, für jedes <a href="Hyperrechteck" title="Hyperrechteck">Hyperrechteck</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle R=\prod _{i=1}^{n}[x_{i},y_{i}]\subseteq [0,1]^{n}}">

</mrow>

</mrow>

</munderover>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle R=\prod _{i=1}^{n}[x_{i},y_{i}]\subseteq [0,1]^{n}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/adbc7d4efcad193af82c3ce4008bb4082a2c0f25.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.005ex; width:23.197ex; height:6.843ex;" alt="{\displaystyle R=\prod _{i=1}^{n}[x_{i},y_{i}]\subseteq [0,1]^{n}}" loading="lazy"> ist das <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle C}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle C}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4fc55753007cd3c18576f7933f6f089196732029.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.766ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle C}" loading="lazy">-Volumen nicht negativ: <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle V_{C}\left(R\right):=\sum _{\mathbf {z} \in \prod _{i=1}^{n}\{x_{i},y_{i}\}}(-1)^{N(\mathbf {z} )}C(\mathbf {z} )\geq 0}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<mrow>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</munderover>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</munder>

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle V_{C}\left(R\right):=\sum _{\mathbf {z} \in \prod _{i=1}^{n}\{x_{i},y_{i}\}}(-1)^{N(\mathbf {z} )}C(\mathbf {z} )\geq 0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/01150359be6c06aced1049372c56099c6b4526af.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.671ex; width:39.072ex; height:6.176ex;" alt="{\displaystyle V_{C}\left(R\right):=\sum _{\mathbf {z} \in \prod _{i=1}^{n}\{x_{i},y_{i}\}}(-1)^{N(\mathbf {z} )}C(\mathbf {z} )\geq 0}" loading="lazy">, wobei <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle N(\mathbf {z} ):=|\{k\mid z_{k}=x_{k}\}|}">

</mrow>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle N(\mathbf {z} ):=|\{k\mid z_{k}=x_{k}\}|}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/532a128298ee655f6282013afa684cd549327234.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:23.26ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle N(\mathbf {z} ):=|\{k\mid z_{k}=x_{k}\}|}" loading="lazy">,</li></ul></li></ul>

<ul><li>Die eindimensionalen Randverteilungen von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle C}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle C}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4fc55753007cd3c18576f7933f6f089196732029.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.766ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle C}" loading="lazy"> sind uniform auf dem Einheitsintervall: <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \forall j\in \{1,\dotsc ,n\}\forall u=(u_{1},\dotsc ,u_{n})\in \{1\}^{j-1}\times [0,1]\times \{1\}^{n-j}\colon C(u)=u_{j}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \forall j\in \{1,\dotsc ,n\}\forall u=(u_{1},\dotsc ,u_{n})\in \{1\}^{j-1}\times [0,1]\times \{1\}^{n-j}\colon C(u)=u_{j}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/5ac63a43c5b3a22e6b680dcfc1970e59e7201877.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:70.402ex; height:3.343ex;" alt="{\displaystyle \forall j\in \{1,\dotsc ,n\}\forall u=(u_{1},\dotsc ,u_{n})\in \{1\}^{j-1}\times [0,1]\times \{1\}^{n-j}\colon C(u)=u_{j}}" loading="lazy">.</li></ul>

Die Forderung an die Randverteilungen lässt sich wie folgt motivieren:

Für <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n\in \mathbb {N} }">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n\in \mathbb {N} }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/d059936e77a2d707e9ee0a1d9575a1d693ce5d0b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.913ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle n\in \mathbb {N} }" loading="lazy"> beliebig verteilte <a href="Zufallsvariable" title="Zufallsvariable">Zufallsvariablen</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle X_{1},X_{2},\dotsc ,X_{n}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle X_{1},X_{2},\dotsc ,X_{n}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/29f695cbbfd7caccec825add6601fa8ec884f2ee.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:15.312ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle X_{1},X_{2},\dotsc ,X_{n}}" loading="lazy"> mit stetigen Verteilungsfunktionen <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle F_{X_{i}}}">

<msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle F_{X_{i}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e7dc876afe5f89968fc7433cf7f8c41f3c93629c.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:3.712ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle F_{X_{i}}}" loading="lazy"> (<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle i\in \{1,2,\dotsc ,n\}}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle i\in \{1,2,\dotsc ,n\}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/3ae60ef2383c8a36b39c47ee8cb4ff4ca1d289e6.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:15.9ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle i\in \{1,2,\dotsc ,n\}}" loading="lazy">) ist die Zufallsvariable <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle F_{X_{i}}(X_{i})}">

<msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle F_{X_{i}}(X_{i})}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7211659081ab03504e2efd838c554c9e0550f113.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:8.246ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle F_{X_{i}}(X_{i})}" loading="lazy"> gleichverteilt über dem Intervall <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle [0,1]}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle [0,1]}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/738f7d23bb2d9642bab520020873cccbef49768d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:4.653ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle [0,1]}" loading="lazy">.

Zusammen mit dem folgenden Satz von Sklar wird die Trennung von Randverteilungen und Abhängigkeiten unter diesen möglich.

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Satz_von_Sklar">Satz von Sklar</h2></div>

Im Folgenden sei <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\overline {\mathbb {R} }}:=\mathbb {R} \cup \{-\infty ,+\infty \}}">

<mover>

</mrow>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\overline {\mathbb {R} }}:=\mathbb {R} \cup \{-\infty ,+\infty \}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/9efa9a5af610ff141f963b36558bf9228f30673d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:21.422ex; height:3.509ex;" alt="{\displaystyle {\overline {\mathbb {R} }}:=\mathbb {R} \cup \{-\infty ,+\infty \}}" loading="lazy"> eine Erweiterung der <a href="Reelle_Zahlen" class="mw-redirect" title="Reelle Zahlen">reellen Zahlen</a>.

Sei <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle F\colon {\overline {\mathbb {R} }}^{n}\rightarrow [0,1]}">

<msup>

<mover>

</mrow>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle F\colon {\overline {\mathbb {R} }}^{n}\rightarrow [0,1]}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/aa872b6b728d1d6ff3f7f23f6bca4e75d1316aef.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:14.053ex; height:3.509ex;" alt="{\displaystyle F\colon {\overline {\mathbb {R} }}^{n}\rightarrow [0,1]}" loading="lazy"> eine <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.395ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle n}" loading="lazy">-dimensionale Verteilungsfunktion (<a href="Multivariate_Verteilungsfunktion" title="Multivariate Verteilungsfunktion">multivariate Verteilungsfunktion</a>) mit eindimensionalen Randverteilungen <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle F_{1},\dotsc ,F_{n}\colon {\overline {\mathbb {R} }}\rightarrow [0,1]}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<mover>

</mrow>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle F_{1},\dotsc ,F_{n}\colon {\overline {\mathbb {R} }}\rightarrow [0,1]}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f7eb1cff3ab907ec6443913b9c495d6eedc5b31e.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:21.534ex; height:3.509ex;" alt="{\displaystyle F_{1},\dotsc ,F_{n}\colon {\overline {\mathbb {R} }}\rightarrow [0,1]}" loading="lazy">. Dann existiert eine <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.395ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle n}" loading="lazy">-dimensionale Copula <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle C}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle C}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4fc55753007cd3c18576f7933f6f089196732029.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.766ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle C}" loading="lazy">, sodass für alle <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (x_{1},\dotsc ,x_{n})\in {\overline {\mathbb {R} }}^{n}\ }">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msup>

<mover>

</mrow>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (x_{1},\dotsc ,x_{n})\in {\overline {\mathbb {R} }}^{n}\ }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/00ffc534877f22f1c8634cd5e11ddfc61b8888fc.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:18.352ex; height:3.509ex;" alt="{\displaystyle (x_{1},\dotsc ,x_{n})\in {\overline {\mathbb {R} }}^{n}\ }" loading="lazy"> gilt:

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<mrow>

<mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

<mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

<mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle F(x_{1},x_{2},\dotsc ,x_{n})=C\left(F_{1}\left(x_{1}\right),\dotsc ,F_{n}\left(x_{n}\right)\right).}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/98125b8547aab330a7977552dfa9b5bcc2c524cb.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:45.325ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle F(x_{1},x_{2},\dotsc ,x_{n})=C\left(F_{1}\left(x_{1}\right),\dotsc ,F_{n}\left(x_{n}\right)\right).}" loading="lazy"></dd></dl>

Sind alle <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle F_{i}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle F_{i}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/18f9a5ed62f131c8ad9acdf7f8539f103f1e0ec9.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.294ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle F_{i}}" loading="lazy"> stetig, so ist die Copula eindeutig.

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Fréchet-Hoeffding-Schranken">Fréchet-Hoeffding-Schranken</h2></div>

Für jede <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.395ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle n}" loading="lazy">-variate Copula <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle C}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle C}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4fc55753007cd3c18576f7933f6f089196732029.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.766ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle C}" loading="lazy"> gelten die untere Fréchet-Hoeffding-Schranke:

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<mrow>

<mrow>

</mrow>

</mrow>

</munderover>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle C(u_{1},\ldots ,u_{n})~\geq ~\max \left\{\sum \limits _{i=1}^{n}{u_{i}}+1-n,~0\right\}~=:~W(u_{1},\ldots ,u_{n})}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/287f14d730985a1b6f6ad8f16ef8afdb544d934f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.171ex; width:63.327ex; height:7.509ex;" alt="{\displaystyle C(u_{1},\ldots ,u_{n})~\geq ~\max \left\{\sum \limits _{i=1}^{n}{u_{i}}+1-n,~0\right\}~=:~W(u_{1},\ldots ,u_{n})}" loading="lazy">,</li></ul>

und die obere Fréchet-Hoeffding-Schranke:

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle C(u_{1},\ldots ,u_{n})~\leq ~\min\{u_{1},\ldots ,u_{n}\}~=:~M(u_{1},\ldots ,u_{n})}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/41a7954508b4bf2a0aa6b1f9ed2dae4568a88cfd.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:53.912ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle C(u_{1},\ldots ,u_{n})~\leq ~\min\{u_{1},\ldots ,u_{n}\}~=:~M(u_{1},\ldots ,u_{n})}" loading="lazy">.</li></ul>

Die obere Schranke <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle M}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle M}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f82cade9898ced02fdd08712e5f0c0151758a0dd.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.442ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle M}" loading="lazy"> ist selbst eine Copula, die untere Schranke <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle W}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle W}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/54a9c4c547f4d6111f81946cad242b18298d70b7.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.435ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle W}" loading="lazy"> hingegen nur für <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n=2}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n=2}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a02c8bd752d2cc859747ca1f3a508281bdbc3b34.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.656ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle n=2}" loading="lazy">.

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Anwendung">Anwendung</h2></div>

Copulae werden eingesetzt, um Rückschlüsse auf die Art der stochastischen Abhängigkeit verschiedener Zufallsvariablen zu erzielen oder um Abhängigkeiten gezielt zu modellieren. Sie werden beispielsweise in der Kreditrisikoanalyse eingesetzt, um Aussagen über einen gehäuften Bankrott mehrerer Schuldner innerhalb eines Anleihenportfolios machen zu können.

Analog sind Anwendungen im Versicherungsbereich üblich. Dort stellen gehäuft auftretende Schäden verschiedener Schadenarten ein finanzielles Problem dar. Beispiel hierfür ist ein zu beobachtender Zusammenhang zwischen Sturm- und Hochwasserschäden. Eine weitere zentrale Anwendung im Bereich der <a href="Finanzmathematik" title="Finanzmathematik">Finanzmathematik</a> ist die Modellierung von operationellen Risiken und die Modellierung der Abhängigkeiten zwischen den Risikoarten (Kredit- und <a href="Marktrisiko" title="Marktrisiko">Marktrisiko</a>, Versicherungsrisiko und Kreditrisiko etc.).

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Beispiele_für_Copulae">Beispiele für Copulae</h2></div>

<ul><li>Die empirische Copula wird aus den Daten geschätzt</li>

<li>Die einfachste Form der Copula ist die Unabhängigkeitscopula (Produktcopula)</li></ul>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mrow>

</munderover>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle C(u_{1},\ldots ,u_{n})=\prod \limits _{i=1}^{n}u_{i}=u_{1}\cdot \ldots \cdot u_{n}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/87be91f99b180b72558acde8834baffe87f65127.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.005ex; width:36.382ex; height:6.843ex;" alt="{\displaystyle C(u_{1},\ldots ,u_{n})=\prod \limits _{i=1}^{n}u_{i}=u_{1}\cdot \ldots \cdot u_{n}}" loading="lazy">.</dd>

<dd>Sie steht für <a href="Stochastisch_unabh%C3%A4ngige_Zufallsvariablen" title="Stochastisch unabhängige Zufallsvariablen">stochastisch unabhängige</a> Zufallsvariablen <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle U_{1},\ldots ,U_{n}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle U_{1},\ldots ,U_{n}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/bdefcb9e1f2a3b58c4bb3925fa1d3ed76215b3e7.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:10.626ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle U_{1},\ldots ,U_{n}}" loading="lazy">, die gemäß der Copula C verteilt sind. In Zeichen: <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (U_{1},\ldots ,U_{n})\sim C}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (U_{1},\ldots ,U_{n})\sim C}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/319dec3fadce6896e0b52a6645d9ebe422a6e18a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:17.3ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (U_{1},\ldots ,U_{n})\sim C}" loading="lazy"></dd></dl>

<ul><li>Die obere Fréchet-Hoeffding-Schranke, ebenfalls eine Copula, ist gegeben durch</li></ul>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</munder>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle C(u_{1},\ldots ,u_{n})=\min _{i=1,\ldots ,n}u_{i}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/338ccbc1b29d12294149bc4df1e8ed0a0f35e086.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.338ex; width:25.795ex; height:4.343ex;" alt="{\displaystyle C(u_{1},\ldots ,u_{n})=\min _{i=1,\ldots ,n}u_{i}}" loading="lazy">.</dd>

<dd>Sie beschreibt perfekte positive stochastische Abhängigkeit (totale positive Korrelation).</dd></dl>

<ul><li>Die untere Fréchet-Hoeffding-Schranke ist nur im bivariaten Fall eine Copula:</li></ul>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle C(u_{1},u_{2})=\max\{u_{1}+u_{2}-1,0\}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/79b486fad0bc102dbc5b21328179f74aa70fe4f1.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:32.934ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle C(u_{1},u_{2})=\max\{u_{1}+u_{2}-1,0\}}" loading="lazy">.</dd>

<dd>Sie beschreibt eine perfekte negative stochastische Abhängigkeit zweier Zufallsvariablen.</dd></dl>

<ul><li>Die Normal- oder auch Gauß-Copula wird mit Hilfe der Verteilungsfunktion der <a href="Normalverteilung" title="Normalverteilung">Normalverteilung</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle F(\cdot )}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle F(\cdot )}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ae8ad845eb97afa8e3c01816edf98f82a2b665ee.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:4.197ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle F(\cdot )}" loading="lazy"> definiert. So ist</li></ul>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle C(u_{1},u_{2})=F_{2}(F^{-1}(u_{1}),F^{-1}(u_{2}),\rho )\,}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e4836d85e21a5b6345ae5c2f4b415e7a774b1335.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:37.172ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle C(u_{1},u_{2})=F_{2}(F^{-1}(u_{1}),F^{-1}(u_{2}),\rho )\,}" loading="lazy"></dd>

<dd>eine Copula, wobei <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle F_{2}(\cdot ,\cdot ,\rho )}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle F_{2}(\cdot ,\cdot ,\rho )}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/d80ca460618504260f9121910286e769d1c93e93.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:8.922ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle F_{2}(\cdot ,\cdot ,\rho )}" loading="lazy"> die bivariate Verteilungsfunktion zweier standard-normalverteilter Zufallsvariablen mit dem Korrelationskoeffizienten <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \rho }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \rho }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/1f7d439671d1289b6a816e6af7a304be40608d64.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:1.202ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \rho }" loading="lazy"> ist.</dd>

<dd>Erzeugt man Punkte, die gemäß der Normal-Copula mit Parameter <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \rho =0{,}5}">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \rho =0{,}5}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/47de49c067fdf1e21732ba3a4e500b8029b2bdce.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:7.272ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle \rho =0{,}5}" loading="lazy"> verteilt sind, ergibt sich bereits eine leichte Konzentration dieser entlang der Winkelhalbierenden. </dd></dl>

<ul><li>Die nach <a href="Emil_Julius_Gumbel" title="Emil Julius Gumbel">Emil Julius Gumbel</a> benannte Gumbel-Copula wird mit Hilfe der <a href="Exponentialfunktion" title="Exponentialfunktion">Exponentialfunktion</a> und dem natürlichen <a href="Logarithmus" title="Logarithmus">Logarithmus</a> definiert</li></ul>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<mrow>

<mrow>

<msup>

<mrow>

<mrow>

<msup>

<mrow>

<mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</msup>

<msup>

<mrow>

<mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle C_{\lambda }(u_{1},u_{2})=\exp \left(-\left(\left(-\ln u_{1}\right)^{\lambda }+\left(-\ln u_{2}\right)^{\lambda }\right)^{1/\lambda }\right)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/8d74d25fefd45438c8e3aca47296a033bc39c686.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:50.605ex; height:6.176ex;" alt="{\displaystyle C_{\lambda }(u_{1},u_{2})=\exp \left(-\left(\left(-\ln u_{1}\right)^{\lambda }+\left(-\ln u_{2}\right)^{\lambda }\right)^{1/\lambda }\right)}" loading="lazy">,</dd>

<dd>wobei <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \lambda \geq 1}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \lambda \geq 1}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/3a37870accb1d7cb8912fd80b53a7e4c9bc61e4d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:5.616ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle \lambda \geq 1}" loading="lazy"> als Parameter fest zu wählen ist.</dd>

<dd>Erzeugt man Punkte, die gemäß der Gumbel-Copula mit Parameter <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \lambda >1}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \lambda >1}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/db907bc2da64805ec8698ef70da1531773faccc0.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.616ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \lambda >1}" loading="lazy"> verteilt sind, ergibt sich insbesondere eine Punkthäufung in der Nähe des Punktes <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (1,1)}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (1,1)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/2c2a42feb07f4139bf871ae6856b11d4567bea23.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:5.168ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (1,1)}" loading="lazy">. </dd></dl>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Archimedische_Copulae">Archimedische Copulae</h2></div>

Archimedische Copulae stellen eine Klasse von Copulae dar. Diese lassen sich wie folgt beschreiben:

Sei <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \varphi \colon [0,1]\rightarrow [0,\infty ]}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \varphi \colon [0,1]\rightarrow [0,\infty ]}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e0dba2c2dd7d8947238095abff2c98b3f31bda3c.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:16.635ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \varphi \colon [0,1]\rightarrow [0,\infty ]}" loading="lazy"> eine stetige, streng monoton fallende Funktion mit <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \varphi (1)=0}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \varphi (1)=0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/3e0210d5b00137b15c8a4daa78546a138262dd0f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:8.753ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \varphi (1)=0}" loading="lazy">. Bezeichne <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \varphi ^{[-1]}\colon [0,\infty ]\rightarrow [0,1]\ }">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \varphi ^{[-1]}\colon [0,\infty ]\rightarrow [0,1]\ }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f0c23e90633c54fdaa79e869dafc5e7f2164c129.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:20.463ex; height:3.343ex;" alt="{\displaystyle \varphi ^{[-1]}\colon [0,\infty ]\rightarrow [0,1]\ }" loading="lazy"> die Pseudo-Inverse von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \varphi }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \varphi }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/33ee699558d09cf9d653f6351f9fda0b2f4aaa3e.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:1.52ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \varphi }" loading="lazy">, d. h.

<msup>

</mrow>

</msup>

<mrow>

<mtr>

<mtd>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mtd>

<mtd>

<mtext>falls </mtext>

</mrow>

</mtd>

</mtr>

<mtr>

<mtd>

</mtd>

<mtd>

<mtext>sonst</mtext>

</mrow>

</mtd>

</mtr>

</mtable>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \varphi ^{[-1]}(t):={\begin{cases}\varphi ^{-1}(t),&{\text{falls }}0\leq t\leq \varphi (0)\\0,&{\text{sonst}}\end{cases}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/fa31ae84a11d1652f74bfca00d8b0fd8ca9d306b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:40.484ex; height:6.176ex;" alt="{\displaystyle \varphi ^{[-1]}(t):={\begin{cases}\varphi ^{-1}(t),&{\text{falls }}0\leq t\leq \varphi (0)\\0,&{\text{sonst}}\end{cases}}}" loading="lazy"></dd></dl>

Mit Hilfe von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \varphi }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \varphi }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/33ee699558d09cf9d653f6351f9fda0b2f4aaa3e.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:1.52ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \varphi }" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \varphi ^{[-1]}}">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \varphi ^{[-1]}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/931969f9e65e768f1e3c67662df627ad44f4e52b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:4.768ex; height:3.343ex;" alt="{\displaystyle \varphi ^{[-1]}}" loading="lazy"> lässt sich nun eine bivariate Funktion definieren:

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

<mrow>

<mrow>

<mrow>

</mrow>

<mrow>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle C\colon [0,1]^{2}\rightarrow [0,1],\quad C(u,v):=\varphi ^{[-1]}\left(\varphi \left(u\right)+\varphi \left(v\right)\right)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/077f5fa44b087dde9ec7f7991ad9099d86b96db6.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:50.637ex; height:3.343ex;" alt="{\displaystyle C\colon [0,1]^{2}\rightarrow [0,1],\quad C(u,v):=\varphi ^{[-1]}\left(\varphi \left(u\right)+\varphi \left(v\right)\right)}" loading="lazy"></dd></dl>

Die Funktion <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle C}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle C}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4fc55753007cd3c18576f7933f6f089196732029.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.766ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle C}" loading="lazy"> ist genau dann eine Copula, wenn <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \varphi }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \varphi }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/33ee699558d09cf9d653f6351f9fda0b2f4aaa3e.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:1.52ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \varphi }" loading="lazy"> konvex ist. In diesem Fall heißt <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \varphi }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \varphi }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/33ee699558d09cf9d653f6351f9fda0b2f4aaa3e.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:1.52ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \varphi }" loading="lazy"> Erzeuger oder Generator der Copula. Offensichtlich ist <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle C}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle C}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4fc55753007cd3c18576f7933f6f089196732029.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.766ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle C}" loading="lazy"> symmetrisch, d. h. <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle C(u,v)=C(v,u)}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle C(u,v)=C(v,u)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/682f04bbffcb82d72d97d6a7bf2a1c2c690fa6fa.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:17.232ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle C(u,v)=C(v,u)}" loading="lazy"> für alle <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle u,v\in [0,1]}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle u,v\in [0,1]}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/83a46d1b72265ce8f3f85a0368d1849bcb59bbff.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:10.984ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle u,v\in [0,1]}" loading="lazy">.

Beispiele für archimedische Copulae sind:

<ul><li>Gumbel-Copula: Ihr Erzeuger ist die Funktion <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \varphi (t)=(-\ln t)^{\lambda }}">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \varphi (t)=(-\ln t)^{\lambda }}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/0d91caa45fb55e9b5cdc9ae39a75b56e4825a393.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:15.629ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle \varphi (t)=(-\ln t)^{\lambda }}" loading="lazy"> mit Parameter <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \lambda \geq 1}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \lambda \geq 1}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/3a37870accb1d7cb8912fd80b53a7e4c9bc61e4d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:5.616ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle \lambda \geq 1}" loading="lazy">.</li></ul>

<dl><dd>Damit ergibt sich <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \varphi ^{[-1]}(t)=\exp \left(-t^{\frac {1}{\lambda }}\right)}">

<msup>

</mrow>

</msup>

<mrow>

<mrow>

<msup>

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \varphi ^{[-1]}(t)=\exp \left(-t^{\frac {1}{\lambda }}\right)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/8e1da167ec7426a837f48f4d45c9fb2e8337564b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:21.983ex; height:6.176ex;" alt="{\displaystyle \varphi ^{[-1]}(t)=\exp \left(-t^{\frac {1}{\lambda }}\right)}" loading="lazy"> und damit die Gumbel-Copula <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle C_{\lambda }(u,v)}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle C_{\lambda }(u,v)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f80312f836c4f1913a007bdcc2f6bcf0c3565cf4.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:8.153ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle C_{\lambda }(u,v)}" loading="lazy"> wie oben.</dd></dl>

<ul><li>Clayton-Copula: Ihr Erzeuger ist die Funktion <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \varphi (t)={\frac {1}{\Theta }}\left(t^{-\Theta }-1\right)}">

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

<mrow>

<mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \varphi (t)={\frac {1}{\Theta }}\left(t^{-\Theta }-1\right)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/21ebd20f7d5053baf62641ea2490755a2a38e3f1.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.005ex; width:20.061ex; height:5.343ex;" alt="{\displaystyle \varphi (t)={\frac {1}{\Theta }}\left(t^{-\Theta }-1\right)}" loading="lazy"> mit Parameter <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \Theta >0}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \Theta >0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/6ae69870533a9deb30b5598f89fc5e869c88fa70.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:6.069ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \Theta >0}" loading="lazy">.</li></ul>

<dl><dd>Damit ist <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \varphi ^{[-1]}(t)=\left(\Theta \cdot t+1\right)^{-{\frac {1}{\Theta }}}}">

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

<mrow>

<mrow>

</mrow>

</mrow>

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \varphi ^{[-1]}(t)=\left(\Theta \cdot t+1\right)^{-{\frac {1}{\Theta }}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/834eeccfe185daed2c42ea65e3d826f3d2c94a64.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:24.039ex; height:4.176ex;" alt="{\displaystyle \varphi ^{[-1]}(t)=\left(\Theta \cdot t+1\right)^{-{\frac {1}{\Theta }}}}" loading="lazy"> und die bivariate Clayton-Copula ergibt sich zu:

<msup>

<mrow>

<mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mrow>

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle C(u,v)=\left(u^{-\Theta }+v^{-\Theta }-1\right)^{-{\frac {1}{\Theta }}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/1946c1e11ae76ec19c9aabcb863333abe99300c6.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:30.559ex; height:4.509ex;" alt="{\displaystyle C(u,v)=\left(u^{-\Theta }+v^{-\Theta }-1\right)^{-{\frac {1}{\Theta }}}}" loading="lazy"></dd></dl></dd></dl>

<ul><li>Frank-Copula: Ihr Erzeuger ist die Funktion <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \varphi (t)=-\ln \left({\frac {e^{-\Theta \cdot t}-1}{e^{-\Theta }-1}}\right)}">

<mrow>

<mfrac>

<mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

<mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \varphi (t)=-\ln \left({\frac {e^{-\Theta \cdot t}-1}{e^{-\Theta }-1}}\right)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ad32529b2ae5247d6bb4f255d450956ddeeaee8e.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:24.586ex; height:6.343ex;" alt="{\displaystyle \varphi (t)=-\ln \left({\frac {e^{-\Theta \cdot t}-1}{e^{-\Theta }-1}}\right)}" loading="lazy"> mit Parameter <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \Theta >0}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \Theta >0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/6ae69870533a9deb30b5598f89fc5e869c88fa70.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:6.069ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \Theta >0}" loading="lazy">.</li></ul>

Archimedische Copulae werden oft angewandt, da es sehr einfach ist, Zufallszahlen daraus zu generieren.

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Extremwertcopula">Extremwertcopula</h2></div>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Definition_2">Definition</h3></div>

Eine Copula <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle C}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle C}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4fc55753007cd3c18576f7933f6f089196732029.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.766ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle C}" loading="lazy"> heißt Extremwertcopula, wenn es die Copula

einer <a href="Multivariat" class="mw-redirect" title="Multivariat">multivariaten</a> <a href="Extremwerttheorie" title="Extremwerttheorie">Extremwertverteilung</a> ist, d. h. es existiert eine multivariate Extremwertverteilung <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle G}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle G}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f5f3c8921a3b352de45446a6789b104458c9f90b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.827ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle G}" loading="lazy"> mit univariaten Rändern <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle G_{1},\dots ,G_{n}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle G_{1},\dots ,G_{n}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/3f3b799154cab4e121c102d2dddb805961a5c83f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:11.104ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle G_{1},\dots ,G_{n}}" loading="lazy">, dass gilt <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle C(u_{1},\dots ,u_{n})=G(G_{1}^{-1}(u_{1}),\dots ,G_{n}^{-1}(u_{n}))}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle C(u_{1},\dots ,u_{n})=G(G_{1}^{-1}(u_{1}),\dots ,G_{n}^{-1}(u_{n}))}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/144d4cf5fbbfe19bd691fa201101390d8f50128a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:42.468ex; height:3.343ex;" alt="{\displaystyle C(u_{1},\dots ,u_{n})=G(G_{1}^{-1}(u_{1}),\dots ,G_{n}^{-1}(u_{n}))}" loading="lazy">.

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Lemma">Lemma</h3></div>

Eine Copula <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle C}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle C}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4fc55753007cd3c18576f7933f6f089196732029.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.766ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle C}" loading="lazy"> ist genau dann eine Extremwertcopula, wenn für <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbf {0} \leq \mathbf {u} =(u_{1},\dots ,u_{n})^{T}\leq \mathbf {1} }">

</mrow>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbf {0} \leq \mathbf {u} =(u_{1},\dots ,u_{n})^{T}\leq \mathbf {1} }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/aaeee1a3f424c7dfc67fd9ec2cf03f09bc73c524.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:26.763ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle \mathbf {0} \leq \mathbf {u} =(u_{1},\dots ,u_{n})^{T}\leq \mathbf {1} }" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle t>0}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle t>0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/29a2960e88369263fe3cfe00ccbfeb83daee212a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.101ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle t>0}" loading="lazy"> gilt <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle C(u_{1}^{t},\dots ,u_{n}^{t})=C^{t}(u_{1},\dots ,u_{n})}">

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle C(u_{1}^{t},\dots ,u_{n}^{t})=C^{t}(u_{1},\dots ,u_{n})}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/baec963b1211428985828a2cf4b2672bce0ede7a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:31.328ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle C(u_{1}^{t},\dots ,u_{n}^{t})=C^{t}(u_{1},\dots ,u_{n})}" loading="lazy">.

Ist <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle C}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle C}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4fc55753007cd3c18576f7933f6f089196732029.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.766ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle C}" loading="lazy"> eine Extremwertcopula und sind <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle G_{1},\dots ,G_{n}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle G_{1},\dots ,G_{n}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/3f3b799154cab4e121c102d2dddb805961a5c83f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:11.104ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle G_{1},\dots ,G_{n}}" loading="lazy"> univariate <a href="Extremwerttheorie" title="Extremwerttheorie">Extremwertverteilungen</a>, dann ist <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle G((x_{1},\dots ,x_{n})^{T}):=C(G_{1}(x_{1}),\dots ,G_{n}(x_{n}))}">

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<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle G((x_{1},\dots ,x_{n})^{T}):=C(G_{1}(x_{1}),\dots ,G_{n}(x_{n}))}</annotation>

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</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/8eaac53338c8920c5e49dc3ebbd7aab258cf7217.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:43.921ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle G((x_{1},\dots ,x_{n})^{T}):=C(G_{1}(x_{1}),\dots ,G_{n}(x_{n}))}" loading="lazy">

eine multivariate Extremwertverteilung.

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Zusammenhang_zwischen_Copula_und_T-Norm">Zusammenhang zwischen Copula und T-Norm</h2></div>

Jede bivariate <a href="Assoziativgesetz" title="Assoziativgesetz">assoziative</a> und <a href="Kommutativgesetz" title="Kommutativgesetz">kommutative</a> Copula ist eine <a href="T-Norm" title="T-Norm">T-Norm</a> (siehe Grabisch et al. 2009). Beispielsweise sind die bivariate Produktcopula und beide bivariaten Fréchet-Hoeffding-Schranken gleichzeitig T-Normen.

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Literatur">Literatur</h2></div>

<ul><li>Harry Joe: Dependence Modeling with Copulas (Monographs on Statistics and Applied Probability 134). CRC Press, 2015, ISBN 978-1-4665-8322-1.</li></ul>

<ul><li>J.-F. Mai, M. Scherer: Simulating Copulas (Stochastic Models, Sampling Algorithms and Applications). World Scientific, 2012, ISBN 978-1-84816-874-9.</li></ul>

<ul><li>J. Wernz: Bank Management and Control. Springer Nature, 2020, ISBN 978-3-03042865-5.</li></ul>

<ul><li>Roger B. Nelsen: An Introduction to Copulas. (= <a href="Lecture_Notes_in_Statistics" title="Lecture Notes in Statistics">Lecture Notes in Statistics</a>). Springer Verlag, 2006, ISBN 0-387-28659-4.</li></ul>

<ul><li>A. Sklar: Random variables, distribution functions, and copulas – a personal look backward and forward. In: L. Rüschendorf, B. Schweizer, M. Taylor (Hrsg.): Distributions With Fixed Marginals & Related Topics. (= Lecture Notes - Monograph Series Number. 28). 1997, ISBN 0-940600-40-4.</li></ul>

<ul><li>Rico Fischer: Modellierung von Abhängigkeiten mit Hilfe von Copulas: Anwendung bei der Bestimmung des Value at Risk. Logos Berlin, 2009, ISBN 978-3-8325-2142-4.</li></ul>

<ul><li>M. Grabisch, J.-L. Marichal, R. Mesiar E. Pap: Aggregation Functions. Cambridge University Press 2009. ISBN 978-0-521-51926-7. S. 56f. (<a rel="nofollow" class="external text" href="https://books.google.de/books?id=gueKp7j49SMC&pg=PA1&hl=de&source=gbs_toc_r&cad=3#v=onepage&q&f=false">eingeschränkte Vorschau</a> in der Google-Buchsuche)</li></ul>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Weblinks">Weblinks</h2></div>

<ul><li>P. Embrechts, F. Lindskog, A. McNeil: Modelling Dependence with Copulas and Applications to Risk Management. In: S. Rachev (Hrsg.): Handbook of Heavy Tailed Distributions in Finance. Elsevier, Chapter 8, 2003, S. 329–384. <a rel="nofollow" class="external text" href="https://people.math.ethz.ch/~embrecht/ftp/copchapter.pdf">(people.math.ethz.ch</a>; PDF; 818 kB)</li></ul>

<ul><li>P. Embrechts, A. McNeil, D. Straumann: Correlation and dependence in risk management: properties and pitfalls. In: M. A. H. Dempster: (Hrsg.): Risk Management: Value at Risk and Beyond. Cambridge University Press, Cambridge 2002, S. 176–223. (<a rel="nofollow" class="external text" href="https://people.math.ethz.ch/~embrecht/ftp/pitfalls.pdf">people.math.ethz.ch</a>; PDF; 784 kB)</li></ul>

<ul><li>C. Schölzel, P. Friederichs: Multivariate non-normally distributed random variables in climate research – introduction to the copula approach. In: Nonlinear Processes in Geophysics. 15, 2008, S. 761–772. <a rel="nofollow" class="external text" href="https://www.nonlin-processes-geophys.net/15/761/2008/npg-15-761-2008.html">(www.nonlin-processes-geophys.net</a> open access)</li></ul>

<ul><li>Andreas Beck, Michael Lesko, Frank Schlottmann, Konrad Wimmer: Copulas im Risikomanagement. In: Zeitschrift für das gesamte Kreditwesen. 14/2006. <a rel="nofollow" class="external text" href="http://www.risknet.de/typo3conf/ext/bx_elibrary/elibrarydownload.php?&downloaddata=350">(risknet.de)</a></li></ul>

<ul><li>Michael Lesko, Andreas Beck: Zur Modellierung von Abhängigkeiten in der Bankpraxis – Copula-Funktionen zur Ermittlung des Gesamtbankrisikoprofils. In: Betriebswirtschaftliche Blätter. 5/2006. <a rel="nofollow" class="external text" href="http://www.risknet.de/typo3conf/ext/bx_elibrary/elibrarydownload.php?&downloaddata=348">(risknet.de)</a></li></ul></div><div><div class="zim-footer">

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